Question

Determinati nr intregi x pentru care fractia 7x-5 supra 2x+1 este numar intreg.

Answer 1

Fractia (7x-5) / (2x +1)  ∈ Z numai daca numaratorul se imparte exact la numitor.
Altfel spus, (2x+1) divide pe (7x-5)

Daca
(2x+1) I (7x-5)
atunci (2x+1) divide si pe 2 · (7x-5) 
(2x+1) I  2 ·(7x-5)

stim ca (2x+1) divide pe (2x+1)
(2x+1) I (2x+1)
atunci (2x+1) divide si pe 7 · (2x+1)
(2x+1) I  7·(2x+1)

inseamna ca (2x+1) divide si diferenta lor:
(2x+1) I  [2(7x-5) -7(2x+1)]
(2x+1) I  (14x -10 -14x -7) ⇒ (2x+1) I ( -17)

Divizorii lui (-17)  sunt -17, -1, 1, 17
⇒2x+1 = -17 ⇒ x= -9
   2x+1 = -1 ⇒ x= -1
   2x+1 = 1 ⇒ x= 0
  2x+1 = 17 ⇒ x= 8

⇒x= {-9;-1;0; 8}