Determinati nr. nat. n pentru care fractia 6^n+7^n+8^n supra 3^n+4^n+5^n este un numar natural
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
Explicație pas cu pas:
Observăm că numărătorul și numitorul fracției au aceeași paritate pentru orice număr natural n, deci numitorul nu poate fi niciodată divizor al numărătorului. Astfel, pentru ca fracția să fie întreagă, numitorul trebuie să fie egal cu 1.
Deoarece 3, 4 și 5 sunt prime între ele, putem deduce că un număr care se divide atât cu 3, cât și cu 5, trebuie să se divida și cu 15. Astfel, trebuie să căutăm un exponent n astfel încât 6^n + 7^n + 8^n să fie un multiplu al lui 15.
Observăm că 8 ≡ -1 (mod 3), iar 7 ≡ 1 (mod 3), deci 8^n ≡ (-1)^n ≡ ±1 (mod 3), iar 7^n ≡ 1 (mod 3). De asemenea, 6 ≡ 1 (mod 5), iar 7 ≡ 2 (mod 5), deci 6^n ≡ 1 (mod 5), iar 7^n ≡ 2^n (mod 5).
Pentru ca numărătorul să fie multiplu de 15, trebuie ca și 6^n + 7^n să fie multiplu de 15. Din relația 8^n ≡ ±1 (mod 3) și a faptului că 15 = 3 × 5, rezultă că pentru ca suma să fie multiplu de 15, trebuie ca exponentul n să fie impar, iar suma să fie multiplu de 3.
Din relația 7^n ≡ 2^n (mod 5) și a faptului că 15 = 3 × 5, rezultă că suma 6^n + 7^n + 8^n este multiplu de 5 pentru orice valoare a lui n.
În concluzie, pentru ca fracția să fie întreagă, trebuie să existe un număr natural impar n pentru care 6^n + 7^n + 8^n este multiplu de 15 și de 3. Cel mai mic astfel de număr este n = 3, pentru care 6^3 + 7^3 + 8^3 = 1743. Deci lăsând numitorul 3^n + 4^n + 5^n = 3^3 + 4^3 + 5^3 = 108, avem că fracția este egală cu 1743/108 = 161/10, ceea ce nu este întreg. În concluzie, nu există un astfel de număr natural n pentru care fracția să fie întreagă.