Question

Determinati nr. nat. n si m stiind ca n! + m! = 744 (daca n apartine N*, atunci n!=1 x 2 x......x n)

Answer 1

$Pentru~orice~x \in N,~avem~x! \geq 1,~iar~cum~m!+n!=744,~rezulta \\ ca~m! \leq 743~si~n! \leq 743. \\ \\  n! \leq 743 \Rightarrow n \leq 6.$

$n=6 \Rightarrow 720+m!=744 \Rightarrow m!=24 \Rightarrow m=4. \\ n=5 \Rightarrow 120+m!=744 \Rightarrow m!=624,~fara~solutie. \\ n=4 \Rightarrow m=6 \\ n=3 \Rightarrow fara ~solutie \\ n=2 \Rightarrow fara ~solutie \\ n=1 \Rightarrow fara~solutie$

$Solutie:~(m;n) \in \{(4;6);(6;4)\}.$

Observatie: Am fi obtinut o solutie mai rapida astfel: Ecuatia fiind simetrica, puteam analiza doar cazul m≤n, tinand cont la final ca o solutie (a;b) ar implica si solutia (b;a)...iar cum n≤6, am fi analizat doar cazurile n=6 si n=5. Obtineam solutia n=6 si m=4, de unde rezulta si solutia n=4 si m=6.