Question

Determinați nr. Nat. x și y știind că x^3 + x^2y =180

Answer 1

   
x si y  ∈ N
x³ + x²y  = 180    Dam factor comun pe x².
x²(x+y) = 180

D18 = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 9; 10; 12; 15; 18; 20; 30; 36; 45; 60; 90; 180}
Printre divizorii lui 180, cautam divizori care sunt patrate perfecte.
Dpp18 = {1; 4; 9; 36}

x²(x+y) = 180  Il egalam pe x² cu fiecare patrat perfect divizor al lui 18.

x² = 1  ⇒ x = 1
1(1 + y) = 180
1 + y = 180 / 1 
1 + y = 180
y = 180 - 1 = 179
Solutia 1:   x = 1;   y = 179

x² = 4  ⇒ x = 2
4(2 + y) = 180
2 + y = 180 / 4 
2 + y = 45
y = 45 - 2 = 43
Solutia 2:   x = 2;   y = 43

x² = 9  ⇒ x = 3
9(3 + y) = 180
3 + y = 180 / 9 
3 + y = 20
y = 20 - 3 = 17
Solutia 3:   x = 3;   y = 17

x² = 36  ⇒ x = 6
36(6 + y) = 180
6 + y = 180 / 36 
6 + y = 5
y = 5 - 6 = -1  ∉ N 
Solutia 4:  Nu exista

Answer 2

[tex]\it x^3+x^2y=180|_{:x^2} \Rightarrow x+y = \dfrac{180}{x^2} \Rightarrow y = \dfrac{180}{x^2} -x \ \ \ \ (*) \\\;\\ \\\;\\ 180 =1^2\cdot2^2\cdot3^2\cdot5[/tex]


[tex]\it x=1 \stackrel{(*)}{\Longrightarrow } y = 180-1=179 \\\;\\ x=2 \stackrel{(*)}{\Longrightarrow } y = \dfrac{180}{4}-2= 45-2=43 \\\;\\ x=3 \stackrel{(*)}{\Longrightarrow } y = \dfrac{180}{9}-3= 20-3=17 [/tex]


$\it (x,y) \in \{(1,\ 179),\ (2,\ 43),\ (3,\ 17)\}$

Observație:

Relația (*) este o egalitate între numere naturale.