Question

determinati nr naturale a și b știind ca (a ,b)=1 și a + b =15 va rog repede dau coroana

Answer 1

(a, b) = 1
Asta inseamna ca cel mai mare divizor comun dintre a si b este 1, deci sunt prime intre ele.

Putem elimina cazurile pentru care a sau b au divizori comuni cu 15, deoarece:

Presupunem ca a si 15 au un divizor comun k (mai mare ca 1)
a = k * x
15 = k * y
(k * x) + b = k * y  ==>  b = k * y - k * x = k(y - x)  ==>  b este divizibil cu k
Daca k | a si k | b, atunci k este un divizor comun, dar stim ca a si b il au ca divizor comun pe 1  ==>  k = 1, dar am stabilit la inceput ca k > 1  ==>  Presupunere falsa.

Concluzie: a sau b nu pot avea ca divizori pe divizorii lui 15, in afara de 1

Divizorii lui 15, diferiti de 1, sunt: 3, 5, 15.
Multiplii acestor divizori sunt: 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15 (a si b nu pot lua aceste valori)

Ne raman: 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14, si le verificam pe fiecare:

I. a = 1  ==>  b = 14
II. a = 2  ==>  b = 13
III. a = 4  ==>  b = 11
IV. a = 7  ==>  b = 8
Urmatoarele valori sunt aceleasi valori ca mai sus, numai ca sunt interschimbate.

(a, b) ∈ {(1, 14), (2, 13), (4, 11), (7, 8), (8, 7), (11, 4), (13, 2), (14, 1)}