Determinati nr naturale cuprinse intre 100 si 1000,care impartite la 12,15 si 18 dau 6,9 si,respectiv 12 si caturi nenule.
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
174, 354, 534, 714 și 894.
Explicație pas cu pas:
Notăm cu x cel mai mic număr care dă resturi 6, 9 și 12 la împărțirile cu 12, 15 și respectiv 18.
Observăm că la fiecare împărțire, restul este mai mic cu 6 decât împărțitorul. Asta înseamnă că x+6 se împarte exact la cele 3 numere. Adică x+6 este cmmmc (12, 15 și 18)
Calculăm cmmmc (12, 15, 18):
12 = 2² × 3
15 = 3 × 5
18 = 2 × 3²
cmmmc = 2² × 3² × 5 = 180 (am luat factorii comuni și necomuni, la puterea cea mai mare)
Așadar, x+6 = 180 ⇒ x = 180 - 6 = 174 - această valoare este cea mai mică soluție, dar trebuie să calculăm toate solutțiile cuprinse între 100 și 1000.
Verificăm care dintre multiplii lui 180 respectă condiția din enunț (atenție, din multiplul astfel calculat trebuie să scădem 6, cum am procedat și mai sus):
2×180 - 6 = 354 - este soluție, pentru că este cuprins între 100 și 1000
3×180 - 6 = 534 - este soluție, pentru că este cuprins între 100 și 1000
4×180 - 6 = 714 - este soluție, pentru că este cuprins între 100 și 1000
5×180 - 6 = 894 - este soluție, pentru că este cuprins între 100 și 1000
6×180 - 6 = 1074 - nu este soluție, pentru că este mai mare decât 1000.
Așadar, numerele cuprinse între 100 și 1000 care dau rest 6, 9 și 12 la împărțirea la 12, 15 și 18 sunt 174, 354, 534, 714 și 894.