Question

Determinati nr naturale de patru cifre care au exact cinci divizori.

Answer 1

  
Cautam numere naturale de 4 cifre care au 5 divizori.

Rezolvare:

5 este numar impar.
Numerele naturale care au numar impar de divizori sunt patrate perfecte.

Un patrat perfect de forma a², unde a = numar prim are divizorii:
 D(a²) = {1; a; a²}   In total sunt 3 divizori.

Un patrat perfect de forma: (a×b)², unde a si b sunt numere prime,
are divizorii:  
D(a×b)² = {1; a; b; a²; a×b; b²; a²b; ab²; a²b² }  In total sunt 9 divizori.

Un patrat perfect de forma: (a×a)² = (a²)² = a⁴, unde a = numar prim are divizorii: 
D(a⁴) = {1; a; a²; a³; a⁴}   In total 5 divizori.

Rezulta ca trebuie sa cautam numere de forma:
1000 ≤ a⁴ ≤ 9999,   unde a = numar prim

Facem cateva incercari:

3⁴ = 81  prea mic
5⁴ = 625 < 1000 dar ne apropiem.
7⁴ = 2401   corespunde deoarece este numar de 4 cifre.
11⁴ = 14641 prea mare.

⇒ Singurul numar de 4 cifre care are 5 divizori este 2401.

Verificare:
D(2401) = {1; 7; 49; 343; 2401}  In total sunt 5 divizori.