Question

determinati numarul natural A, stiind ca 27×a are cu 15 divizori mai mult decat A, iar 8×A la puterea 2 are de 4 ori mai multi divizori decat A .

Answer 1

numerul de divizori ai unui numar se afla dupa formula
produsul puterilor factorilor primi adunati cu 1

exemplu pentru 6
descompus in factori primi 6=2*3 si 2 si 3 sunt la puterea 1
deci (1(de la 2 la puterea 1)+1)(1(de la 3 la puterea 1)+1)=2*2=4 divizori

am sa notez numarul divizorilor lui A cu D
A are D divizori
27*A are D+15 divizori
8*A^2 are 4D divizori

din ultima relatie este clar ca A are in descompunere termenul 2 la puterea 1 cel putin, deoarece daca nu l-ar fi avut, ar fi fost adevarata relatia 8*A are 4D divizori

27 este 3^3,
daca A nu ar avea in descompunerea sa termenul atuni ar daca ca D=5, dupa care nu se poate verifica a doua relatie, rezulta ca A sigur are in descompunerea sa pe 3

am sa notez cu x, puterea lui 3 care se gaseste in descompunerea lui A
si am sa notez cu T fractia D/(x+1)
3^3 * A are (x+3+1)*T divizori
dar din problema stim ca 3^3 * A are D+15 divizori, adica (x+1)T+15 divizori
egalez relatiile si rezulta
(x+4)T=(x+1)T+15
T(x+4)-T(x+1)=15
T(x+4-x-1)=15
T*3=15
T=5
D/(x+1)=5
Rezulta ca D are doar 2 factori primi, 3 la puterea x si 2 la puterea a 4, deoarece
(4+1)*(x+1)/(x+1)=5 e singura posibilitate

rezulta ca A este de forma
A=2^4 * 3^x

4D=4*5*(x+1)
4D=20x+20

dupa, deoarece A^2 are (2*4+1)(2*x+1) divizori (deoarece se dubleaza fiecare putere a factorilor primi prin ridicarea la patrat)
si 2^3 * A^2 are (2*4+3+1)(2x+1) divizori (deoarece atunci cand se inmulteste cu 2^3, se aduna 3 la exponentul lui 2 din descompunerea lui A)

dupa egalez (2*4+4)(2x+1) din calculele mele cu 20x+20 din problema
si rezulta
(8+4)(2x+1)=20x+20
12(2x+1)=20x+20
24x+12=20x+20
dupa trec pe 20x in stanga si pe 12 in dreapta cu semn schimbat si rezulta....
4x=8
x=2

Stim deja ca A=2^4 * 3^x
si x=2
deci rezulta
A=16 * 3^2
A=16*9
A=144

Deci numarul cautat este 144