Question

Determinati numarul natural de trei cifre distincte scris in baza 10, care este egal cu suma tuturor numerelor naturale de doua cifre distincte ce se pot forma cu cifrele sale.
VA ROG FRUMOS

Answer 1

consider ab ca ab cu bara si a*b produsul lor. Deci problema cere:
abc =ab+ba+ac+ca+bc+cb  (specifica ca a,b,c -cifre, nenule) =>
=> 100*a+10*b+c =10*a+b+10*b+a+10*a+c+10*c+a+10*b+c+10*c+b <=>
<=>100*a+10*b+c=22*a+22*b+22*c <=>
<=>78*a=12*b+21*c (impartim prin 3 ) <=>
<=>26*a=4*b+7*c  cum in partea stanga produsul este un numar par =>
=> si in partea dreapta trebuie sa fie un nr par =>
=> 4*b+7*c = nr par => 7*c= nr par => c=nr par, dar c este cifra nenula=>
=> c poate fi: 2,4,6,8

caz 1) c=2 => 
=>26*a=4*b+14 <=>13*a=2*b+7
' partea' din stanga este divizibila cu 13 => 2*b +7 divizibila cu 13, cum b este cifra => b=3 => 13*a=2*3+7 <=> 13*a=13 <=>a=1
in acest caz avem abc=132

caz 2)c=4 =>
=>26*a=4*b+28 <=>13*a=2*b+14
 partea' din stanga este divizibila cu 13 => 2*b +14 divizibila cu 13 =>
 => 2*(b+7) divizibil cu 13 =>( b+7) divizibil cu 13 cum b este cifra =>
=>b=6=> 13*a=2*6+14 => a=2=>
=> numarul abc=264

caz 3) c=6 =>
=>26*a=4*b+42 <=>13*a=2*b+21  -||-  -||-
=>(2*b+21) divizibil cu 13  =>(2*b+8) divizibil cu 13 =>(b+4) divizibil cu 13 , b cifra => b=9 => 13*a=2*9+21 => a=3=>
=> nr abc=396

caz 4) c=8 =>
=>26*a=4*b+56 =>13*a=2*b+28 => (b+14) divizibil cu 13 => (b+1) divizibil cu 13 , b cifra => nu exista 

=> numerele cautate sunt :132,264,396
                                            (asta daca nu am gresit la calcule :)