Question

Determinati numarul natural n stiind ca produsul divizorilor sai naturali este egal cu 2^30 * 3^15.

Answer 1

 

Se cere numarul n care are produsul divizorilor sai naturali = 2^30 × 3^15.

Produsul divizorilor lui n contine doar puteri ale lui 2 si ale lui 3.

Rezulta ca descompunerea in factori primi a lui n este de forma:

n = 2^a × 3^b

In multimea divizorilor unui numar, un factor prim al numarului apare de mai multe ori decat in descompunerea in factori primi a numarului.

In cazul nostru, in descompunerea divizorilor lui n, 2 apare de 30 de ori si 3 apare de 15 ori.  

In descompunerea in factori primi a lui n:

n = 2^a × 3^b

2 si 3 vor aparea de mai putine ori.

⇒  a < 30  si  b < 15  

Am scris semnul "mai mic", dar sunt "mult mai mici"

In produsul divizorilor exponentul lui 2 este de 2 ori mai mare decat exponentul lui 3

Putem trage concluzia ca in descompunerea lui n,  exponentul lui 2 este de 2 ori mai mare decat exponentul lui 3.

a = 2b

⇒  a = numar par

Cautam pe n = 2^a × 3^b in care a si b au cele mai mici valori:

a = 2  si b = 1

n = 2^a × 3^b = 2^2 × 3^1 = 4 × 3 = 12

Verificam:

D12 = {1; 2; 3; 4; 6; 12}

Calculam produsul divizorilor:

P = 1 × 2 × 3 × 4 × 6 × 12

P = 1 × 2 × 3 × 2^2 × (2 × 3) × (2^2 × 3)

P = 2 × 2^2 × 2 × 2^2 × 3 × 3 × 3 = 2^6 × 3^3

Concluzie:

n = 12 este prea mic, dar am confirmat faptul ca daca in descompunerea numarului n exponentul lu 2 este de 2 ori mai mare decat exponentul lui 3            (a = 2 si b = 1) atunci si exponenti din produsul divizorilor sunt in acelasi raport.

-----------------------------------------------

Verificam urmatoarele valori pentru a si b cu conditia  a = 2b:

a = 4  si  b = 2

n = 2^a × 3^b = 2^4 × 3^2 = 16 × 9 = 144

D144 = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 9; 12; 16; 18; 24; 36; 48; 72; 144}

P = 1 × 2 × 3 × 4 × 6 × 8 × 9 × 12 × 16 × 18 × 24 × 36 × 48 × 72 × 144

P = 2 × 3 × 2^2 × (2 × 3) × 2^3 × 3^2 × (2^2 × 3) × 2^4 × (2 × 3^2) ×                 (2^3 × 3) × (2^2 × 3^2) × (2^4 × 3) × (2^3 × 3^2) × (2^4 × 3^2)

P = 2 × 2^2 × 2 × 2^3 × 2^2 × 2^4 × 2 × 2^3 × 2^2 × 2^4 × 2^3 × 2^4 ×                  3 × 3 × 3^2 × 3 × 3^2 × 3 × 3^2 × 3 × 3^2 × 3^2

P = 2^(1+2+1+3+2+4+1+3+2+4+3+4) × 3^(1+1+2+1+2+1+2+1+2+2)

P = 2^30 × 3^15

⇒ n = 144