Question

determinati numarul naturale de forma 4a6b baratdiviziil cu 18 {45 puncte}

Answer 1

Daca numarul N este divizibil cu 18, atunci N trebuie sa fie divizibil si cu divizorii lui 18
1=2*9, atunci N divizibil cu 2 si N divizibil cu 9
Daca N este divizibil cu 9, inseamna ca suma tuturor cifrelor acestui numar formeaza un numar divizibil cu 9.
Acest lucru e usor de demonstrat. Sa presupunem ca avem un nr $\overline{abcd}$ si vrem sa vedem daca e divizibil cu 9.
Acest nr poate fi scris in sistem zecimal
$\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d=999a+a+99b+b+9c+c+d=9(111a+11b+c)+a+b+c+d$ deci observam ca daca suma cifrelor este divizibila cu 9, atunci tot numarul e divizibil cu 9
In cazul nostru avem asadar
$S=4+a+6+b=10+a+b$ divizibil cu 9.
Dar mai stim ca N este divizibil cu 2, asta inseamna ca b este nr par
Mai stim de asemenea ca a si b sunt cifre, atunci
$a\leq9$
$b\leq9$
$a+b\leq18\Rightarrow 10+a+b\leq 18+10=28$
si de asemenea
$a\geq0$
$b\geq0$
$a+b\geq0\Rightarrow 10+a+b\geq 0+10=10$
Deci va trebui sa ne rezumam cautarea la multipli de 9 din intervalul 10 28
Pai in acest interval sunt 2 multipli de 9
Cazul I
$10+a+b=18\Rightarrow a+b=8$ b poate sa fie doar par, deci avem urmatoarele solutii
b=0,a=8 adica N=4860
b=2,a=6 adica N=4662
b=4,a=4 adica N=4464
b=6,a=2 adica N=4266
b=8,a=0 adica N=4068

Cazul II) $10+a+b=27\Rightarrow a+b=17$
Aici avem o singura solutie
a=9,b=8 N=4968

Answer 2

18|4a6b 18=9•2=>9 si 2|4a6b; 2|4a6b=>b€{0,2,4,6,8}; 9|4a60=>9|(4+a+6+0)=>a€{8}.Numarul este 4860.; 9|4a62=>9|(4+a+6+2)=>a€{6}.Numarul este 4662.; 9|4a64=>9|(4+a+6+4)=>a€{4}.Numarul este 4464; 9|4a66=>9|(4+a+6+6)=>a€{2}.Numarul este 4266; 9|4a68=>9|(4+a+6+8)=>a€{9}.Numarul este 4968.