Question

Determinati numarul numerelor naturale x$\neq$1, x< 100 , pentru care fractia $\frac{x-2}{3 x^{2} +2x-5}$ este ireductibila .

Answer 1

3x² + 2x - 5 = a·( x - x₁ ) ·( x - x₂ )  = 3 · ( x  + 5 /3 ) · ( x -1) = 
                    formula descompunerii 
Δ =4 + 4·3·5 = 64 
x₁ = ( -2 - 8) /6 = -10 / 6  = - 5 / 3 
x₂ = ( -2 + 8) / 6  = 6 /6 = 1 

 = 3 · ( 3x + 5) / 3  · ( x -1) = ( 3x + 5) · ( x -1) 

ex = ( x -2)  / ( 3x + 5) · ( x -1) 
daca se simplifica  , exista un divizor  d 
d   I x -2               inmultim cu  3                 d    I 3x - 6 
d   I 3x +  5                                                d    I  3x + 5 
                               ------------------------------------------------------------
       le scadem                                    d   I  3x + 5 - ( 3x - 6 ) 
d   I  3x + 5 - 3x + 6          ; acest divizor este d = 11 
divizori naturali   1 ; 11 
daca   3x + 5 = 11 
3x = 6
 daca   x = 2   fractia = 0 

daca  3x + 5 = 1      ; 3x = 1 - 5         ; 3x = - 4  ;  x = - 4 /3∉ N 
pentru x <100  ; x ≠ 1   ;  x∈ N    ;  fractia = ireductibila