Question

Determinați numărul real a aparține R pentru care ecuația (a+1)x²+(2a+3)x-a=0 are soluția x=1/3. Determinați cea de-a doua soluție pentru valoarea lui a determinata anterior.

Answer 1

[tex](a+1)x^2+(2a+3)x-a=0\\ \frac{1}{3} \text{ - solu\c tie, deci:}\\ (a+1)\cdot(\frac{1}{3})^2+(2a+3)\cdot \frac{1}{3}-a=0\\ (a+1)\cdot \frac{1}{9}+(2a+3)\cdot \frac{1}{3}-a=0\\ (a+1)+3(2a+3)-9a=0\\ a+1+6a+9-9a=0\\ 2a=10\\ a=5[/tex]
[tex]\text{Ecua\c tia devine:}\\ (5+1)x^2+(2\cdot 5+3)x-5=0\\ 6\cdot x^2+13\cdot x-5=0\\ \Delta_x=169+120=289=17^2\\ x_{1,2}=\frac{-13\pm17}{2\cdot 6} \Rightarrow\\ x_1=\frac{-13+17}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\\ x_2=\frac{-13-17}{12}=\frac{-30}{12}=-\frac{5}{2}\\ \underline{a=5} \text{ \c si a doua solu\c tie este } \underline{-\frac{5}{2}}.[/tex]

Answer 2

Daca x = $\dfrac{1}{3}$
, inlocuind în ecuatie, se obtine ecuatia $\dfrac{a + 1}{9} + \dfrac{2a + 3}{ 3} - a = 0$, care are ca solutie a = 5. Prin inlocuirea lui a în ecuatie, se obtine ecuatia
${6x}^{2} + 13x - 5 = 0.$
Calculam
$\triangle = {b}^{2} - 4ac = = > \triangle = 289$
, iar $\sqrt{ \triangle} = \sqrt{289} = 17.$
Atunci, solutiile ecuatiei sunt: $x_{1} = \dfrac{ - 13 - 17}{12} = \dfrac{ - 30}{12} = - \dfrac{5}{2}$
;
$x_{2} = \dfrac{ - 13 + 17}{12} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3} .$