Question

Determinati numerele de forma ab pentru care ab +ba este patrat perfect

Answer 1

ab=10a+b
ba=10b+a
fie k² numar patrat perfect
ab+ba=k²(1)
(10a+b)+(10b+a)=k²
(10a+a)+(b+10b)=k²
11a+11b=k²
11*a+11*b=k²
11*(a+b)=k²(2)
din (1),(2)⇒a+b=patrat perfect care il divide pe 11.
singurul patrat perfect care il divide pe 11 este 121.
121:11=11
121=11²
deci:
a+b=121:11
a+b=11
a=numar de o cifra
b=numar de o cifra
2+9=11
3+8=11
4+7=11
5+6=11
6+5=11
7+4=11
8+3=11
9+2=11
a=2 b=9⇒ab=29 ba=92 29+92=121=11²
a=3 b=8⇒ab=38 ba=83 38+83=121=11²
a=4 b=7⇒ab=47 ba=74 47+74=121=11²
a=5 b=6⇒ab=56 ba=65 56+65=121=11²
a=6 b=5⇒ab=65 ba=56 65+56=121=11²
a=7 b=4⇒ab=74 ba=47 74+47=121=11²
a=8 b=3⇒ab=83 ba=38 83+38=121=11²
a=9 b=2⇒ab=92 ba=29 92+29=121=11²