Question

Determinati numerele de forma abc(cu bara deasupra) astefel incat
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{10+b}{10+a}$

Answer 1

avand in vedere ca trebuie sa gasesti numere de forma abc => a,b,c cifre dar a,b,c sunt la numitor => ele sunt nenule => am voie sa inmultesc cu ele:inmultesc toata ecuatia cu toti numitorii si am:
(de acum inainte cand vorbesc de abc,ma refer la produs.o sa omit semnul * pentru a restrange)
(10+a)(bc+ac+ab)=(10+b)abc cum a e cifra nenula => a poate fi de la 1 la 9. notez fiecare caz cu cifra pe care o ia a.
 Ex: cazul II) a=2   notez paranteza (bc+ac+ab)=p si notez(in) =imposibil in multimea nr Naturale
I)a=1 => 11p=(10+b)bc . =>(10+b)bc divizibil cu 11,dar cum b,c cifre=>
=> singura solutie poate fi b=1 => 1+1+1/c=1 (in)
III)a=3 => 13p=(10+b)3bc => (10+b)3bc divizibil cu 13,dar cum b,c cifre=>
=> singura solutie (10+b) divizibil cu 13, adica b=3. Verific:1/3+1/3+1/c=1 => c=3 (solutie buna:333)
VII)a=7 => 17*p=(10+b)7bc => ....b=7 ,verific : 1/c=1-2/7 (in)
IX)a=9 => 19*p=(10+b)9bc =>.....b=9, verific 1/c=1-2/9 (in)am terminat cazurile 'usoare' cand 10+a era numar prim. 
IV) a=4 => 7p=2(10+b)bc => (10+b)bc divizibil cu 7 => b poate fi 4,7 sau c=7
 1)b=4 => 1/2 +1/c=1 <=>c=2 (solutie buna : 442)
 2)b=7 => 1/c=17/14 -11/14 (in)
 3)c=7 => 1/b =(10+b)/14 -11/14 <=>14=b*(b-1) (in)
V) a=5 =>3p=(10+b)bc  =>
=> (10+b)bc divizibil cu 3 => 
=>b poate fi 2,3,5,6,8,9 sau c=3,6,9
 1)b=2 => 1/c=12/15 -7/10 <=>1/c=24-21/30 <=>1/c=1/10 (fals, c<10)
 2)b=3 =>1/c =13/15 -8/15 <=>c=3 (solutie buna: 533)
 .........+celelate cazuri
II)a=2 => 6p=(10+b)bc =>b poate fi 2,3,5,6,8,9 sau c=3,6,9
VI)a=6 => 8p=3(10+b)bc=> b poate fi 2,4,8 sau c=2,4,8
VIII)a=8 =>9p=4(10+b)bc => b=3,6,9 sau c=3,6,9
facand toate cazurile o sa iti dea, cum a zis mai sus 
234, 333, 442, 533
acuma...metoda tinde spre metoda "prasit" cu tot cu cazurile ramificate ai avea 37 de cazuri.