Question

Determinati numerele naturale a,b,c ( a,b  prime) stiind ca :  2√a+7√a=c√3
Doresc rezolvarea , nu doar rezultatele :)

Answer 1

Scriem egalitatea sub forma
 $2\sqrt a=c\sqrt3-7\sqrt b$
O ridicam la patrat si obtinem
$4a=3c^2+49b-14c\sqrt{3b}\Rightarrow\sqrt{3b}=\dfrac{3c^2-4a+49b}{14c}\in Q\Rightarrow b=3.$
Am folosit faptul ca radical dintr-un numar natural este rational, numai daca numarul este  patrat perfect si ca b este numar prim.

Asemanator scriem egalitatea data sub forma
$7\sqrt b=c\sqrt3-2\sqrt a$
O ridicam la patrat si obtinem
$49b=3c^2+4a-4c\sqrt{3a}\Rightarrow\sqrt{3a}=\dfrac{3c^2+4a-49b}{4c}\in Q\Rightarrow a=3\Rightarrow c=9$