determinati numerele naturale a,b,c stiind ca a+2b-3c,b+2c-3a si c+2a-3b sunt direct proportionale cu 2006,2007,2008 si ca ab+bc+ca=363
urgent!!
Răspunsuri la întrebare
(a + 2b - 3c)/2006 = (b + 2c - 3a)/2007 = (c + 2a - 3b)/2008 = k
De aici rezulta:
a + 2b - 3c = 2006k
b + 2c - 3a = 2007k
c + 2a - 3b = 2008k
Adunam cele trei relatii si obtinem:
a + 2b - 3c + b + 2c - 3a + c + 2a - 3b = 2006k + 2007k + 2008k
a - 3a + 2a + 2b + b - 3b - 3c + 2c + c = 6021k
0 = 6021k
k = 0
Atunci relațiile devin:
a + 2b - 3c = 0
b + 2c - 3a = 0
c + 2a - 3b = 0
Din prima relatie putem scrie:
a = 3c - 2b
Introducem a în a doua relatie si obtinem:
b + 2c - 3(3c - 2b) = 0
b + 2c - 9c + 6b = 0
7b - 7c = 0
7(b-c) = 0
b - c = 0
b = c
Din a doua relatie putem scrie:
b = 3a - 2c
Introducem b in a treia relatie si obtinem:
c + 2a - 3(3a - 2c) = 0
c + 2a - 9a + 6c = 0
7c - 7a = 0
7(c - a) = 0
c - a = 0
c = a
Am obtinut așadar ca a = b = c
Dar stim ca ab + bc + ca = 363
Atunci înlocuim b si c cu a si obtinem:
a×a + a × a + a× a = 363
a^2 + a^2 + a^2 = 363
3a^2 = 363
a^2 = 363 : 3 = 121
a = radical 121 = 11
Rezultă că a = b = c = 11