Question

Determinati numerele naturale a si b care indeplinesc conditiile:
(a;b)=12 si a+b=108. Va rog ajutati-ma.

Answer 1

numerele naturale a și b

• cel mai mare divizor comun al celor două numere este:

c.m.m.d.c. (a, b) = 12

scriem:

a = 12×m și b = 12×n, unde (m, n) = 1, m, n ∈ N*

• suma numerelor este:

a + b = 108

$12m+12n=108 \Leftrightarrow 12(m+n) = 108 \ \Big|:12$

$\Rightarrow \bf m+n = 9$

avem cazurile: 1+8=9; 2+7=9; 3+6=9; 4+5=9; 5+4=9; 6+3=9; 7+2=9; 8+1=9

• (1,8)=1 ⇒ m=1 și n=8

a = 12×1 = 12 și b = 12×8 = 96

• 2+7=9 unde (2,7)=1 ⇒ m=2 și n=7

a = 12×2 = 24 și b = 12×7 = 84

• 3+6=9 unde (3,6)=3≠1 (nu sunt numere prime între ele)

• 4+5=9 unde (4,5)=1 ⇒ m=4 și n=5

a = 12×4 = 48 și b = 12×5 = 60

• 5+4=9 unde (5,4)=1 ⇒ m=5 și n=4

a = 12×5 = 60 și b = 12×4 = 48

• 6+3=9 unde (6,9)=3≠1 (nu sunt numere prime între ele)

• 7+2=9 unde (7,2)=1 ⇒ m=7 și n=2

a = 12×7 = 84 și b = 12×2 = 24

• 8+1=9 unde (8,1)=1 ⇒ m=8 și n=1

a = 12×8 = 96 și b = 12×1 = 12

⇒ perechile de numere (a,b) sunt:

{(12;96), (24;84), (48;60), (60;48), (84;24), (96;12)}