Question

Determinati numerele naturale a si b, daca 2a+b=55 si cel mai mare divizor comun al celor 2 numere este 11.

Answer 1

2a+b=11
(a, b)=11 => a=11k
=>b=11k'
(k, k')=1
k, k' € |N*

2·11·k+11·k'=55
11(2k+k')=55 |:11
2k+k'=5

k=1
=>k'=5-2·1=5-2=3
(k, k')=(1, 3)=1, verifica
=>a=11·k=11·1=11
=>b=11·k'=11·3=33

Verificare: 2·11+33=22+33=55


k=2
=>k'=5-2·2=5-4=1
(k, k')=(2, 1)=1, verifica
=>a=11·k=11·2=22
=>b=11·k'=11·1=11

Verificare: 2·22+11=44+11=55


Pentru k>2 nu avem posibilitati

Answer 2

Daca cmmdc al lor e 11, inseamna ca a e multiplu de 11 iar b e si el multiplu de 11. 
 ⇒
a= 11*x  iar b=11*y
Ecuatia initiala devine 2*11*x + 11*y = 55
Dam factor comun 11
⇒ 11(2x + y ) = 11 * 5
Impartim totul la 11
⇒ 2x + y = 5
⇒ x = 2   si   y = 1
 Revenim si inlocuim aceste valori.
Avem  a = 11 * x = 11* 2 = 22    si  b = 11*y = 11 * 1 = 11