Question

determinati numerele naturale de forma 15ab divizibile cu 6.

Answer 1

Determinați numerele naturale de forma  $\displaystyle \frac{}{15ab}$ divizibile cu 6.

În primul rând, remarcăm că nu se pune condiția ca a ≠ b. Deci vom accepta și soluții în care a = b.

Rezolvarea clasică, printr-o metodă valabilă în orice exercițiu de acest fel, este următoarea:

Folosim următoarea proprietate a divizibilității:

• dacă b, c numere prime între ele, atunci b·c | a dacă și numai dacă b | a și c | a

În cazul nostru, 6 = 2 · 3, iar 2 și 3 sunt numere prime între ele (nu au divizori proprii comuni).

⇒ pentru ca $\displaystyle \frac{}{15ab}$ să fie divizibil cu 6 el trebuie să fie divizibil cu 2 și cu 3

Un număr se divide cu 2 dacă ultima sa cifră este cifră pară.

⇒ b ∈ {0, 2, 4, 6, 8}

Un număr se divide cu 3 dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 3.

Dăm valori lui b, pe rând din mulțimea de valori posibile, și calculăm cifra a :

b = 0  ⇒  1 + 5 + a + 0 = 6 + a ∈ M₃  ⇒  a ∈ {0, 3, 6, 9}

⇒ numerele sunt 1500, 1530, 1560, 1590

b = 2  ⇒  1 + 5 + a + 2 = 8 + a ∈ M₃  ⇒  a ∈ {1, 4, 7}

⇒ numerele sunt 1512, 1542, 1572

b = 4  ⇒  1 + 5 + a + 4 = 10 + a ∈ M₃  ⇒  a ∈ {2, 5, 8}

⇒ numerele sunt 1524, 1554, 1584

b = 6  ⇒  1 + 5 + a + 6 = 12 + a ∈ M₃  ⇒  a ∈ {0, 3, 6, 9}

⇒ numerele sunt 1506, 1536, 1566, 1596

b = 8  ⇒  1 + 5 + a + 8 = 14 + a ∈ M₃  ⇒  a ∈ {1, 4, 7}

⇒ numerele sunt 1518, 1548, 1578

Rezolvarea mai rapidă, dar valabilă doar în cazuri particulare (de exemplu cazul de aici, când știm primele cifre și aflăm ultimele cifre) este următoarea:

Alegem cel mai mic număr care îndeplinește condiția cerută, apoi scriem toți multiplii de 6, până la numărul maxim care îndeplinește condiția.

– numărul minim de forma $\displaystyle \frac{}{15ab}$ divizibil cu 6 este 1500 (este divizibil cu 2 și cu 3)

– scriem multiplii lui 6 și ne oprim când depășim 1599

⇒ numerele căutate sunt: 1500, 1506, 1512, 1518, 1524, 1530, 1536, 1542, 1548, 1554, 1560, 1566, 1572, 1578, 1584, 1590, 1596