Question

Determinati numerele naturale de trei cifre care sunt de 34 de ori mai mari decât suma cifrelor lor.

Answer 1

                METODA 1

a, b, c - cifre

a, b, c ∈ { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

a ≠ 0

(a + b + c)·34 = abc (in baza zece)

descompunem in baza zece

34a + 34b + 34c = 100a + 10b + c     / -34a

34b + 34c = 66a + 10b + c     / -10b-c

24b + 33c = 66a     /:3

8b + 11c = 22a

↓       ↓         ↓

par + ?    =  par  

8b - este par

22a - este par  ⇒ 11c este PAR;

dar (11,8) - nr prime intre ele⇒ c este PAR ⇒ c ∈ {0,2,4,6,8}

Vom avea de analizat 5 cazuri in functie de ce valoare poate avea c

• c = 0 ⇒ 8b = 22a/ :2 ⇒ 4b = 11a

daca a = 4 ⇒ 4b = 11·4 ⇒ b = 11 (NU CONVINE)

daca a = 8 ⇒ 4b = 88 ⇒ b = 22 (NU CONVINE)

• c = 2 ⇒ 8b + 22 = 22a/:2 ⇒ 4b + 11 = 11a

Aici ar trebui sa analizezi fiecare valoare posibila a lui a∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9}, dar vei vedea ca a poate avea doar o valoare

daca a = 1 ⇒ 4b + 11 = 11 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0   abc = 102 (solutie)

daca a = 2 ⇒ 4b + 11 = 22 ⇒ 4b = 11 ⇒ (NU CONVINE)

• c = 4 ⇒ 8b + 44 = 22a/:2 ⇒ 4b + 22 = 11a

daca a = 1 ⇒ 4b + 22 = 11 ⇒ 4b = -11 (NU CONVINE)

daca a = 2 ⇒ 4b + 22 = 22 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0   abc = 204 (solutie)

daca a = 3 ⇒ 4b + 22 = 33 ⇒ 4b = 11 ⇒ (NU CONVINE)

• c = 6 ⇒ 8b + 66 = 22a/:2 ⇒ 4b + 33 = 11a

daca a = 1 ⇒ 4b + 33 = 11 ⇒ 4b = -22 (NU CONVINE)

daca a = 2 ⇒ 4b + 33 = 22 ⇒ 4b = -11 ⇒ (NU CONVINE)

daca a = 3 ⇒ 4b + 33 = 33 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0   abc = 306 (solutie)

daca a = 4 ⇒ 4b + 33 = 44 ⇒ 4b = 11 ⇒ (NU CONVINE)

• c = 8 ⇒ 8b + 88 = 22a/:2 ⇒ 4b + 44 = 11a

daca a = 1 ⇒ 4b + 44 = 11 ⇒ 4b = -33 (NU CONVINE)

daca a = 2 ⇒ 4b + 44 = 22 ⇒ 4b = -22 ⇒ (NU CONVINE)

daca a = 3 ⇒ 4b + 44 = 33 ⇒ 4b = -11 ⇒ (NU CONVINE)

daca a = 4 ⇒ 4b + 44 = 44 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0   abc = 408 (solutie)

daca a = 5 ⇒ 4b + 44 = 55 ⇒ 4b = 11 ⇒ (NU CONVINE)

Din cazurile analizate numerele naturale de trei cifre care sunt de 34 de ori mai mari decât suma cifrelor lor sunt: 102; 204; 306; 408

Raspuns:  abc ∈ {102; 204; 306; 408}

         METODA 2

a, b, c - cifre

a, b, c ∈ { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

a ≠ 0

abc = 34·(a + b + c)

descompunem in baza 10 si vom avea

100a + 10b + c = 34a + 34b + 34c

66a - 33c = 24b  

33·(2a - c) = 24b      /:3  (impartim toata relatia cu 3)

11(2a - c) = 8b

(11 ; 8) = 1 (sunt prime intre ele, adica nu au nimic in comun)

b este cifră si nu poate avea valoare mai mare de 9 ⇒ b = 0  ⇒

2a - c = 0  ⇒ c = 2a  ⇒ c ∈ {2,4,6,8} ⇒ a ∈ {1,2,3,4}  ⇒

abc ∈ {102; 204; 306; 408}

Raspuns:  abc ∈ {102; 204; 306; 408}