Question

Determinati numerele naturale de trei cifre care sunt de 34 de ori mai mari decât suma cifrelor lor. Va rog frumos cine stie sa ma ajute si pe mine!

Answer 1

             METODA 1

a, b, c - cifre

a, b, c∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

a ≠ 0

(a + b + c)•34 = abc (in baza zece)

Observam ca abc se divide simultan cu 17 si cu 2

Descompunem in baza zece :

34a + 34b + 34c = 100a + 10b + c     / -34a

34b + 34c = 66a + 10b + c     / -10b-c

24b + 33c = 66a     /:3   (impărțim toată relația cu 3)

8b  +  11c = 22a

↓        ↓         ↓

PAR + ?    =  PAR

8b - este par

22a - este par  ⇒ 11c este PAR;

DAR (11,8) - nr prime intre ele⇒ c este PAR ⇒ c∈{0,2,4,6,8}

Vom avea de analizat 5 cazuri în funcție de ce valoare poate avea c

• c = 0 ⇒ 8b = 22a/ :2 ⇒ 4b = 11a

daca a = 4 ⇒ 4b = 11•4 ⇒ b = 11 (NU CONVINE)

daca a = 8 ⇒ 4b = 88 ⇒ b = 22 (NU CONVINE)

• c = 2 ⇒ 8b + 22 = 22a/:2 ⇒ 4b + 11 = 11a

Aici ar trebui sa analizezi fiecare valoare posibila a lui a∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9}, dar vei vedea ca a poate avea doar o valoare

daca a = 1 ⇒ 4b + 11 = 11 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0  abc = 102 (solutie)

daca a = 2 ⇒ 4b + 11 = 22 ⇒ 4b = 11 ⇒ (NU CONVINE)

• c = 4 ⇒ 8b + 44 = 22a/:2 ⇒ 4b + 22 = 11a

daca a = 1 ⇒ 4b + 22 = 11 ⇒ 4b = -11 (NU CONVINE)

daca a = 2 ⇒ 4b + 22 = 22 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0   abc = 204 (solutie)

daca a = 3 ⇒ 4b + 22 = 33 ⇒ 4b = 11 ⇒ (NU CONVINE)

• c = 6 ⇒ 8b + 66 = 22a/:2 ⇒ 4b + 33 = 11a

daca a = 1 ⇒ 4b + 33 = 11 ⇒ 4b = -22 (NU CONVINE)

daca a = 2 ⇒ 4b + 33 = 22 ⇒ 4b = -11 ⇒ (NU CONVINE)

daca a = 3 ⇒ 4b + 33 = 33 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0   abc = 306 (solutie)

daca a = 4 ⇒ 4b + 33 = 44 ⇒ 4b = 11 ⇒ (NU CONVINE)

• c = 8 ⇒ 8b + 88 = 22a/:2 ⇒ 4b + 44 = 11a

daca a = 1 ⇒ 4b + 44 = 11 ⇒ 4b = -33 (NU CONVINE)

daca a = 2 ⇒ 4b + 44 = 22 ⇒ 4b = -22 ⇒ (NU CONVINE)

daca a = 3 ⇒ 4b + 44 = 33 ⇒ 4b = -11 ⇒ (NU CONVINE)

daca a = 4 ⇒ 4b + 44 = 44 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0   abc = 408 (solutie)

daca a = 5 ⇒ 4b + 44 = 55 ⇒ 4b = 11 ⇒ (NU CONVINE)

Din cazurile analizate numerele naturale de trei cifre care sunt de 34 de ori mai mari decât suma cifrelor lor sunt: 102; 204; 306; 408

Raspuns:  abc ∈ {102; 204; 306; 408}

           METODA 2

a, b, c - cifre

a, b, c ∈ { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

a ≠ 0

abc = 34•(a + b + c)

descompunem în baza 10 și vom avea

100a + 10b + c = 34a + 34b + 34c

66a - 33c = 24b  

33•(2a - c) = 24b      /:3  (împărtim toata relatia cu 3)

11(2a - c) = 8b

(11;8) = 1 (sunt prime intre ele, adică nu au nimic în comun)

b este cifră si NU poate avea valoare mai mare de 9 ⇒ b = 0  ⇒

2a - c = 0  ⇒ c = 2a  ⇒ c ∈ {2,4,6,8} ⇒ a ∈ {1,2,3,4} ⇒

abc ∈ {102; 204; 306; 408}

Răspuns:  abc ∈ {102; 204; 306; 408}