Question

Determinati numerele naturale de trei cifre , de forma abc barat , știind ca sunt divizibile cu 5 si suma cifrelor este egala cu 22

Se considera expresia E(x) = (x²+x+1)²-(x²+x)²-x² , unde x este numar real . Aratati ca E(n) este patrat perfect , pentru orice numar natural n .

Answer 1

abc se divide cu 5, rezulta c={0;5}

c=0, a+b+c=22, a+b=22, imposibil nu exista 2-a cifre care adunate sa dea 22 (cele mai mari 9+9=18)

c=5, a+b+c=a+b+5=22
a+b=17

a=8, b=9
a=9, b=8

Numerele cautate sunt: 895 si 985

 E(x) = (x²+x+1)²-(x²+x)²-x²=[(x²+x+1-x²-x)(x²+x+1+x²+x)]-x²=

=[(1)(2x²+2x+1)]-x²=2x²+2x+1-x²=x²+2x+1=(x+1)²

Answer 2

1.
daca abc div cu 5=> c=0 sau c=5
a+b+c=22
Daca c=0=>a+b=22 (fals deoarece a si b sunt cifre)
Deci c=5=>a+b=17=>a=9 si b=8 sau b=9 si a=8
deci numerele ce se pot forma sunt 985 sau 895

2.Se foloseste formula de calcul prescurtat:
$(x^{2} +x+1) ^{2}-( x^{2} +x)^{2}=( x^{2} +x+1- x^{2} -x)(2 x^{2} +2x+1)$=$2x^{2} +2x+1$
Avem $2x^{2} +2x+1$-$x^{2}$=$x^{2} +2x+1$=$( x+1) ^{2}$