determinați numerele naturale n pentru ca Nr Aegal 2ori6+7 ori4 lan +1 se divide cu5
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
n este de forma 2k
Explicație pas cu pas:
A=2*6+7*4ⁿ+1=12+1+7*4ⁿ=13+7*4ⁿ
Numarul A se divide cu 5 daca si numai daca ultima cifra a acestuia este 0 sau 5.
Acum o sa analizam comportamentul numarului 4 ridicat la puterea n. Analiza comportamentului consta in gasirea secventei repetite si a frecventei. In alte cuvinte, care sunt cifrele care se repeta si cat de des.
u(4¹)=u(4)=4
u(4²)=u(16)=6
u(4³)=u(64)=4
u(4⁴)=u(256)=6
=> Secventa este 4; 6 iar frecventa este 2.
Observam ca daca numarul n este de forma 2k+1 (impar), ultima cifra este 4, iar daca este de forma 2k (par), ultima cifra este 6. Acum o sa vedem cum se comporta ultima cifra a lui 7*4ⁿ, precum si a lui A.
Cazul I: n este impar (2k+1)
=> u(7*4ⁿ)=u(7*4)=u(28)=8
=> u(A)=u[u(13)+8]=u(3+8)=u(11)=1 => A nu se divide cu 5.
Cazul II: n este par (2k)
=> u(7*4ⁿ)=u(7*6)=u(42)=2
=> u(A)=u[u(13)+2]=u(3+2)=u(5)=5 => A se divide cu 5.
Cazul III: n=0 (caz particular)
A=13+7*4⁰=13+7*1=13+7=20 => A se divide cu 5.