Question

Determinați numerele naturale n pentru care 2^n+3^n este multiplu al lui 5
DAU COROANA!!!!!!!!!!

Answer 1

Răspuns:

n trebuie sa fie numar impar

Explicație pas cu pas:

Multiplii lui 5 au intotdeauna ultima cifra 0 sau 5.

Calculam ultima cifra a lui 2^n:

- pentru n = 1, u.c.(2^n) = 2

- pentru n = 2, u.c.(2^n) = 4

- pentru n = 3, u.c.(2^n) = 8

- pentru n = 4, u.c.(2^n) = 6

..... u.c.(2^n) se repeta din 4 in patru puteri, adica:

- u.c.(2^n) = 2 pentru n = 4k + 1

- u.c.(2^n) = 4 pentru n = 4k + 2

- u.c.(2^n) = 8 pentru n = 4k + 3

- u.c.(2^n) = 6 pentru n = 4k

In mod similar, determinam ca:

- u.c.(3^n) = 3 pentru n = 4k + 1

- u.c.(3^n) = 9 pentru n = 4k + 2

- u.c.(3^n) = 7 pentru n = 4k + 3

- u.c.(3^n) = 1 pentru n = 4k

Atunci ultima cifra a numarului 2^n + 3^n va  fi:

- u.c.(2^n+3^n) = u.c.(2 + 3) = 5, pentru n = 4k + 1

- u.c.(2^n+3^n) = u.c.(4 + 9) = 3, pentru n = 4k + 2

- u.c.(2^n+3^n) = u.c.(8 + 7) = 5, pentru n = 4k + 3

- u.c.(2^n+3^n) = u.c.(6 + 1) = 7, pentru n = 4k

Observam ca, pentru n de forma 4k+1 sau 4k+3, adica pentru n = impar, numarul 2^n + 3^n va avea intotdeauna ultima cifra 5, deci numarul dat este multiplu al lui 5 pentru n = impar.