Question

Determinati numerele naturale n pentru care :
7/17 < 17/n^2 < 13/17

Answer 1

$\displaystyle{\frac{7}{17} < \frac{17}{n^{2} } < \frac{13}{17} }$

• Înmulțim tot rândul cu 17.

$\displaystyle{\frac{7*17}{17} < \frac{17*17}{n^{2} } < \frac{13*17}{17} }$

$\displaystyle{7 < \frac{289}{n^{2} }< 13 }$

• Ridicăm tot rândul la puterea -1 (Atenție: Se schimbă semnele!)

$\displaystyle {7^{-1} > (\frac{289}{n^{2} })^{-1} > 13^{-1}}$

$\displaystyle{\frac{1}{7}>\frac{n^{2} }{289}>\frac{1}{13} }$

• Asta va fi echivalent cu:

$\displaystyle{\frac{1}{13} < \frac{n^{2}}{289} < \frac{1}{7}}$

• Amplificăm: Prima fracție cu 7 × 289, a doua fracție cu 13 × 7 și a treia fracție cu 13 × 289

$\displaystyle{\frac{1*7*289}{13*7*289}< \frac{13*7*n^{2} }{13*7*289}< \frac{1*13*289}{7*13*289} }$

$\displaystyle {\frac{2023}{26299}< \frac{91n^{2} }{26299}<\frac{3757}{26299} }$

• Înmulțim tot rândul cu 26299, ca să scăpăm de fracții.

$\displaystyle {\frac{2023*26299}{26299}< \frac{91*26299n^{2} }{26299}<\frac{3757*26299}{26299} }$

$\displaystyle{2023<91n^{2} < 3757}$

• Împărțim tot rândul cu 91.

$\displaystyle{2023:91<91:91n^{2} < 3757:91}$

$\displaystyle{22,23 < n^{2} <41,28}$

• Îl aflăm pe $\displaystyle{n}$.

$\displaystyle{\sqrt{22,23}< \sqrt{n^{2} }< \sqrt{41,28} }$

4,71 < $\displaystyle {n}$ < 6,42

$\displaystyle {n}$ aparține mulțimii numerelor naturale.

Mulțimea numerelor naturale este N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ......, etc, .....}

Prin urmare, în mulțimea N, numărul $\displaystyle {n}$ va lua valorile 5 și 6.

Soluție: $\displaystyle {n}$ ∈ {5, 6}

- Lumberjack25