Question

Determinați numerele naturale n pentru care fracția $\frac{17n + 5}{4n + 3}$ este număr natural.

Am rezolvat problema dând valori lui n (dacă n=0, n=2,....etc., adică mai pe băbește:) )
Vreau o metoda de rezolvare mai scurta (dacă este) și matematica
Va mulțumesc

Answer 1

Metoda încercărilor (tatonărilor) este utilă în rezolvarea multor probleme.

În cazul problemei date, vom proceda astfel:

Egalăm fracția dată cu numărul natural k.

$\it \dfrac{17n+5}{4n+3}=k \Rightarrow 17n+5=4nk+3k\Rightarrow 17n-4nk=3k-5\Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow n(17-4k)=3k-5 \Rightarrow n=\dfrac{3k-5}{17-4k}\ \ \ \ \ (*)\\ \\ \\ n\in\mathbb{N} \stackrel{(*)}{\Longrightarrow} \begin{cases} \it 3k-5>0 \Rightarrow 3k>5 \Rightarrow 3k\geq6 \Rightarrow k\geq2\ \ \ \ \ (1)\\ \\ \it 17-4k>0 \Rightarrow 17>4k \Rightarrow 4k<17 \Rightarrow 4k\leq16\Rightarrow k\leq4\ \ \ (2)\end{cases}\\ \\ \\ (1),\ (2) \Rightarrow k\in\{2,\ 3,\ 4\}$

După încercări, vom constata că pentru k=4 se obține n=7