Question

Determinați numerele naturale ,,n” pentru care numărul A=2•6 la puterea n +7•4 la puterea n+1 se divide cu 5.
Ajutați-mă, va rog!

Answer 1

Răspuns:

n = {2, 4, 6, 8, 10... } adica toate numerele pare fara 0.

Explicație pas cu pas:

Sper ca am inteles bine ecuatia: $A = 2*6^n + 7*4^{n+1}$ se divide cu 5

deoarece $(a*b)^n = a^n * b^n$, putem rescrie:

$A = 2*6^n + 7*4^{n+1} = 2 * 2^n * 3^n + 7 * 2^{n+1} * 2^ {n+1} = 2^{n+1}(3^n + 7*2^{n+1})$

Deoarece $2^{n+1}$ nu s-ar putea divide cu 5 niciodata, ramane sa se arate ca $3^n + 7*2^{n+1}$ poate sa ajunga multiplu de 5, adica sa aiba ultima cifra 0 sau 5.

Fie n un numar de forma 4k, 4k+1, 4k+2 si 4k+3 unde k apartine de N.

Se poate observa ca ultima cifra a $3^n$ si $2^n$ se repeta din 4 in 4:

$3^{4k} -> 1\\3^{4k+1} -> 3\\3^{4k+2} -> 9\\3^{4k+3} -> 7\\3^{4(k+1)} -> 1$        $2^{4k} -> 6\\2^{4k+1} -> 2\\2^{4k+2} -> 4\\2^{4k+3} -> 8\\2^{4(k+1)} -> 6$

Va trebui sa ajustam coloana lui $2^n$, deoarece avem factorul 7 in fata:

$3^{4k} -> 1\\3^{4k+1} -> 3\\3^{4k+2} -> 9\\3^{4k+3} -> 7\\3^{4(k+1)} -> 1$       $7*2^{4k} -> 2\\7*2^{4k+1} -> 4\\7*2^{4k+2} -> 8\\7*2^{4k+3} -> 6\\7*2^{4(k+1)} -> 2$

De asemenea, putem avansa putin coloana lui $2^n$ deoarece in ecuatie avem $3^n$ si $2^{n+1}$:

$3^{4k} -> 1\\3^{4k+1} -> 3\\3^{4k+2} -> 9\\3^{4k+3} -> 7\\3^{4(k+1)} -> 1$      $7*2^{4k+1} -> 4\\7*2^{4k+2} -> 8\\7*2^{4k+3} -> 6\\7*2^{4(k+1)} -> 2\\7*2^{4(k+1)+1} -> 4$

Trebuie sa gasim o linie pentru care suma ultimelor cifre da fie 0, fie 5.

pentru 4k suma este 5.

pentru 4k+2 suma este 15, deci ultima cifra va fi 5.

In concluzie, numarul A este multiplu de 5 atunci cand n este de forma 4k sau 4k+2. Luand, pe rand, k = 0, 1, 2, 3... obtinem:

n = {2, 4, 6, 8, 10... } adica toate numerele pare fara 0

Am omis n = 0 pentru ca $3^0 = 2^0 = 1$, ceea ce se abate de la regula cifrelor. Se poate verifica pentru n = 0 ca A nu este divizibil cu 5.