Question

Determinați numerele naturale nenule a,b,C,D,e știind ca a+b+C+D+e=360, a/0,2(4)=b/0,3(6)=C/0,4(8) și C/4=D/5=e/6

Answer 1

$a+b+c+d+e=360$

$\frac{a}{0,2(4)} =\frac{b}{0,3(6)}=\frac{c}{0,4(8)} = > a*\frac{90}{22}=b*\frac{90}{33}=c*\frac{90}{44} = > \frac{45a}{11}=\frac{30b}{11}=\frac{45c}{22} < = > 90a=60b=45c < = > \\30a=20b=15c$

$\frac{c}{4}=\frac{d}{5} =\frac{e}{6} < = > 15c=12d=10e$

Exprimăm a,b,c,d în funcție de c și obținem:

$30 a=15c= > a=\frac{c}{2} \\20b=15c= > 4b=3c= > b=\frac{3c}{4} \\12d=15c= > 4d=5c= > d=\frac{5c}{4} \\10e =15c= > 2e=3c= > e=\frac{3c}{2}$

$\frac{c}{2} +\frac{3c}{4}+c+\frac{5c}{4}+\frac{3c}{2}=360$

$\frac{2c+3c+4c+5c+6c}{4} =360\\\\\frac{20c}{4} =360\\ 5c=360 = >$ c=72

Îl știm pe c află a,b,d,e:

$a=\frac{c}{2}=\frac{72}{2}= >$           a=36

$b=\frac{3c}{4}=\frac{3*72}{4} = >$       b=54

$d=\frac{5c}{4}=\frac{5*72}{4} = >$       d=90

$e=\frac{3c}{2}=\frac{3*72}{2} = >$       e=108

Verificare: $36+54+72+90+108=360$

Answer 2

Răspuns:

• $\bf \purple{~a= 36~}$
• $\bf \blue{b= 54}$
• $\bf \pink{~c=72}$
• $\bf \green{d= 90}$
• $\bf \orange{e= 108}$

Explicație pas cu pas:

$\bf a+b+c+d+e=360$

Transformăm numere în fracții și vom avea:

$\bf0,2(4)= \dfrac{24-2}{90} = \dfrac{22^{(2}}{90} = \dfrac{11}{45}$

$\bf0,3(6)= \dfrac{36-3}{90} = \dfrac{33^{(3}}{90} = \dfrac{11}{30}$

$\bf0,4(8)= \dfrac{48-4}{90} = \dfrac{44^{(2}}{90} = \dfrac{22}{45}$

$\bf \dfrac{a}{0,2(4)} =\dfrac{b}{0,3(6)}=\dfrac{c}{0,4(8)} \implies$

$\bf a\cdot \dfrac{90}{22}=b\cdot \dfrac{90}{33}=c\cdot \dfrac{90}{44} \implies \dfrac{^{2)}45a}{11}=\dfrac{^{2)}30b}{11}=\dfrac{45c}{22}$

$\bf \dfrac{90a}{22}=\dfrac{60b}{22}=\dfrac{45c}{22}\implies 90a=60b=45c~~~\bigg|:15$

$\bf \red{\underline{6a=4b=3c}}~~~relatia ~(1)$  

$\bf Dar ~\dfrac{^{15)}c~}{4}=\dfrac{^{12)}d~}{5} =\dfrac{^{10)}e~}{6} \implies \dfrac{15c}{60}=\dfrac{12d}{60} =\dfrac{10e}{60} \implies$

$\bf \implies \red{\underline{15c=12d=10e }}~~~relatia ~(2)$

Vom rescrie numerele în funcție de aceeași necunoscută

$\bf 6a = 3c \implies \underline{a= c:2}$

$\bf 4b = 3c \implies \underline{b= 3c:4}$

$\bf 12d = 15c \implies d= 15c:12 \implies \underline{d= 5c:4}$

$\bf 10e= 15c \implies e= 15c:10 \implies \underline{e= 3c:2}$

Înlocuim noile valori în sumă și vom avea:

$\bf c:2+3c:4+c+5c:4+3c:2=360~~~~\bigg|\cdot4$

$\bf 2c+3c+4c+5c+6c=360\cdot4$

$\bf 20c=360\cdot4~~~\bigg|:20$

$\bf c=18\cdot4$

$\bf \pink{\underline{~c=72~}}$

$\bf a = 72:2 \implies \purple{\underline{~a= 36~}}$

$\bf b = 3\cdot72:4 \implies \blue{\underline{~b= 54~}}$

$\bf d = 5\cdot72:4 \implies \green{\underline{~d= 90~}}$

$\bf e = 3\cdot72:2 \implies \orange{\underline{~e= 108~}}$

$\bf \underline{Verificare}:$

$\bf 36 + 54 + 72 + 90 + 108 = 360~~(adevarat)$

==pav38==

Sper să fie de folos răspunsul meu chiar dacă vine cu 3 zile întârziere față de când ai postat exercițiul.  

Baftă multă !