Question

determinați numerele naturale nenule n cu proprietatea ca: n^2 + 8n + 4 se poate scrie ca produs de 4 numere naturale consecutive. Va rog! E problema de olimpiada, d au coroana!!! ​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

produsul a 4 numere consecutive este un numar divizibil cu 8 ... usor de dem

ptr ca printre cele 4 nr consecutive obligatoriu un numar este M2 iar altul M4...prin urmare produsul e M8

apoi observam ca ptr n impar nu exista solutii deoarece n*n+8*n+4 este impar

ptr n=2*k rezulta 4k*k+16*k+4 = 4 (k*k+4*k+1) = M4 dar nu si M8 cu exceptia cazului in care n*n+4=8 rezulta n=2 iar n*n+8n+4=24=1*2*3*4

Answer 2

n²+8n+4=a(a+1)(a+2)(a+3)

grupam:  a(a+3) si (a+1)(a+2)

n²+8n+4=(a²+3a)( a²+3a+2)

notam  y=a²+3a

n²+8n+4=y(y+2)       /+1

n²+8n+5=y²+2y+1

n²+8n+5=(y+1)²     /+11

n²+8n+16=(y+1)²+11

(n+4)² - (y+1)²=11

(n+4+y+1)(n+4-y-1)=11

(n+y+5)(n-y+3)=11

n+y+5=11 si n-y+3=1 ; le adunam

=> 2n+8=12; 2n=4 => n=2

Verificare: 2²+8•2+4=24=1•2•3•4