Question

Determinați numerele naturale x astfel încât mulțimile A = {3x, 6x +2}
și B = {3x + 1, 3x + 2, 4x +6} să aibă un singur element comun.

Answer 1

Răspuns:

x=0 sau x=2

Explicație pas cu pas:

Caz 1 - Elementul 3x din multimea A este elementul comun al multimilor A si B

1.1. Verificam daca elementul 3x din multimea A poate fi egal cu primul element din multimea B (adica cu 3x+1).

Intrucat 3x<3x+1 pentru orice x∈N=> 3x≠3x+1

1.2. Verificam daca elementul 3x din multimea A poate fi egal cu al doilea element din multimea B (adica cu 3x+2).

Intrucat 3x<3x+2 pentru orice x∈N=> 3x≠3x+2

1.3. Verificam daca elementul 3x din multimea A poate fi egal cu al treilea element din multimea B (adica cu 4x+6).

Intrucat x+6>0 pentru orice x∈N=> 3x+x+6>3x pentru orice x∈N=> 4x+6>3x pentru orice x∈N=>3x≠4x+6

Concluzie: Elementul 3x din multimea A nu poate fi elementul comun al multimilor A si B

Caz 2 - Elementul 6x+2 din multimea A este elementul comun al multimilor A si B

2.1. Verificam daca elementul 6x+2 din multimea A poate fi egal cu primul element din multimea B (adica cu 3x+1).

Intrucat 3x+1>0 pentru orice x∈N=> (3x+1)+(3x+1)>3x+1 pentru orice x∈N=> 6x+2>3x+1 pentru orice x∈N=>6x+2≠3x+1

2.2. Verificam daca elementul 6x+2 din multimea A poate fi egal cu al doilea element din multimea B (adica cu 3x+2).

6x+2=3x+2 ⇔ 6x=3x ⇔ x=0

=> A={0, 2}, B={1,2,6} si A∩B={2}, deci x=0 indeplineste conditiile cerute

2.3. Verificam daca elementul 6x+2 din multimea A poate fi egal cu al treilea element din multimea B (adica cu 4x+6).

6x+2=4x+6 ⇔ 6x-4x=6-2 ⇔ 2x=4 ⇔ x=2

=> A={6, 14}, B={7,8,14} si A∩B={14}, deci x=2 indeplineste conditiile cerute

Concluzie: Elementul 6x+2 din multimea A poate fi elementul comun al multimilor A si B doar daca x este egal cu 0 sau 2.