Question

Determinati numerele naturale x din fiecare caz, stiind ca:
a) 2^x=32
b) 3^x=81
c) 9^2×x=81^4
d) 8^3×x=64^3
e) 2^x+2^x+1+2^x+2=56
f) 3^x+2+3^x=270
g) 3×2^x+2-5×2^x+1-2^x=2
h) 5^x+2-2×5^x+1-12×5^x=375
i) 2^x×3^x+1=108
j) 3^x+1×5^x=675
k) 3^x+2×7^x-3^x×7^x+1=2940

Answer 1

a) 2^x=32 = 2⁵          atunci x = 5 
b) 3^x=81  = 3⁴         atunci x = 4 
c) 9^2×x=81^4               81x  = 81² 81²       ;      x = 81² 
d) 8^3×x=64^3                8³ x = (8² )³ = 8⁶                x = 8⁶ :8³ = 8⁶⁻³ = 8³
e) 2^x+2^x+1+2^x+2=56         2^x( 1 + 2¹ + 2² ) = 56 
                                     2^x  = 56 : 7 = 8 = 2³        ; atunci x = 3 
f) 3^x+2+3^x=270                  3^x ( 3² + 1 ) = 270 
                                              3^x = 270 :10 = 27 = 3³ atunci x=3 
g) 3×2^x+2-5×2^x+1-2^x=2       2^x ( 3 ·2²  -5· 2  -1) =2 
                                                  2^x = 2 :(12 -10 -1 ) =2 :1 =2¹ 
                                                     atunci x = 1 
h) 5^x+2-2×5^x+1-12×5^x=375
                                      5^x ( 5² - 2 · 5¹ -12 ) =375 
                                     5^x = 375 : ( 25 -10 -12 ) = 375: 3 = 125 = 5³
                                        atunci x =3 
i) 2^x×3^x+1=108                  2·3 = 6 
                                      3¹·  6^x  =108   ;        6^x =108 :3 = 36 =6²
                                         atunci x = 2
j) 3^x+1×5^x=675                    3 · 5 = 15 
                                          3¹ · 15^x = 675
                                            15^x  = 675 :3 = 225 = 15² 
                                             atunci x =2 
k) 3^x+2×7^x-3^x×7^x+1=2940                    3· 7   = 21 
                                       ( 3²   - 7¹  )·  21^x =2940 
                                            21^x = 2940 : ( 9 - 7) =2940 :2 = 
                            

Answer 2

$a).2^x=32 \\ 2^x=2^5 \\ x=5 \\ b).3^x=81 \\ 3^x=3^4 \\ x=4 \\ c).9^{2x}=81^4 \\ 9^2^x=(9^2)^ 4 \\ 2^{2x}=9^8 \\ 2x=8 \\ x=8:2 \\ x=4$
$d).8^{3x}=64^3 \\ 8^3^x=(8^2)^3 \\ 8^{3x}=8^6 \\ 3x=6 \\ x=6:3 \\ x=2 \\ e).2^x+2^{x+1}+2^{x+2}=56 \\ 2^x(1+2^1+2^2)=56 \\ 2^x(1+2+4)=56 \\ 2^x(3+4)=56 \\ 2^x \cdot 7=56 \\ 2^x=56:7 \\ 2^x=8 \\ x=2^3 \\ x=3$
$h).5^{x+2}-2 \cdot 5^{x+1}-12 \cdot 5^x=375 \\ 5^x(5^2-2 \cdot 5-12 \cdot 1)=375 \\ 5^x(25-10-12)=375 \\ 5^x \cdot 3=375 \\ 5^x=375:3 \\ 5^x=125 \\ x=5^3 \\ x=3$
$i).2^x \cdot 3^{x+1}=108 \\ 2^x \cdot 3^x \cdot 3^1=108 \\ 2^x \cdot 3^x=108:3 \\ (2 \cdot 3)^x=36 \\ 6^x=36 \\ 6^x=6^2 \\ x=2 \\ j).3^{x+1} \cdot 5^x=675 \\ 3^x\cdot 3^1 \cdot 5^x=675 \\ 3^x \cdot 5^x=675:3 \\ 3^x \cdot 5^x=225 \\ (3 \cdot 5)^x=225 \\ 15^x=15^2 \\ x=2$