Question

Determinati numerele naturale6 a,b apartinand multimii numerelor naturale stiind ca
A) a+b=20 si cmmdc (a;b)= 6
B) a x b = 147 si cmmdc (a;b)=7
C) cmmdc (a;b)=5 si cmmmc [a;b]=30

Answer 1

A
a+b=20  si cmmdc=6
nu exista solutie
 DEMONSTRATIE
  unul din ele este minim 6 iar altul minim 12
6+12=18
sumele urmatorilor multipli ai lui 6 ar fi mai maride 20 ptca s-ar inlocui unul din termeni cu  un multiplu al lui 6 altuldecat 6*2 sau 6*3 , de la 6*5 in sus,

ALTFEL
daca (a;b)=6 atunci putem scrie
 a=6x ; b=6y cu x si y∈N
a+b=6(x+y)=20⇒3(x+y)=10
x+y=10/3∉N, contradictie  problema nu are solutie



B
a*b=147=3*7²  cum cmmdc=7 numerele pot fi doar 7 si 3*7 deci 7 si21


C
a*b= (ab) *[a;b]=5*30=150=2*3*5²
cum (a;b)=5
cele 2 numere pot fi 2*3*5 si 5 , adica 30 si 5
sau
2*5 si 3*5  adica 10 si 15