Question

Determinati numerele rationale m si n pentru care :m(3√2- 2) + n(5√2-3)=7√2 -5

Answer 1

3m√2 - 2m + 5n√2 - 3n = 7√2 - 5
3m + 5n = 7    (1)
2m + 3n = 5    (2)
din 2·(1) - 3·(2) ⇒ n = - 1    m = 4

Answer 2

m(3√2 -2) +n(5√2 -3) = 7√2 -5
3m√2 -2m + 5n√2 -3n = 7√2 -5
3m√2 +5n√2 -7√2 = 2m +3n -5    (dau facor comun in stanga pe √2)
√2(3m +5n -7) = 2m +3n -5

rezulta
√2    =  (2m +3n -5) / ( 3m +5n -7)            contradictie, pentru ca :
                      
√2 ∉Q         iar  (2m+3n-5) / (3m+5n-7)   ∈ Q

rezulta ca    2m +3n -5 =0
si                 3m +5n-7 = 0

2m+3n =5    ⇒2m = 5-3n ⇒ m= (5-3n) / 2
3m+5n =7

3 (5-3n) / 2 +5n = 7
(15 -9n) /2 +5n =7
(15 -9n +10 n) /2 =7
(n+15) /2 = 7
n+15 = 14
⇒n= -1

2m + 3 (-1) =5
2m -3 =5
2m = 8
⇒m= 4