Question

determinati numerele rationale pozitive a b c stiind ca numer ele a+b, b+c si c+a sunt in proportionalitate inversa cu numerele 0,(3) ; 0,25 si 0,2 si ca a la a 3 orib la a 4 ori c la a 2 = 72 ...Urgent va rog frumos

Answer 1

In proportionalitate inversa inseamna ca inmultite cu acele numere dau produse egale
$(a+b)*0.(3)=(b+c)*0.25=(c+a)*0.2=k\Rightarrow \frac{a+b}{3}=\frac{b+c}{4}=\frac{c+a}{5}=k$
Avem atunci
$a+b=3k$
$b+c=4k$
Scadem din a doua relatie pe prima
$b+c-a-b=4k=3k\Rightarrow c-a=k\Rightarrow c=a+k$
Si mai avem a treia relatie
$c+a=5k\Rightarrow a+k+a=2a+k=5k\Rightarrow 2a=4k\Rightarrow a=2k$
Atunci il putem calcula si pe c
$c=a+k=3k$
Si-l putem calcula si pe b
$a+b=2k+b=3k\Rightarrow b=3k-2k=k$
Avem atunci acel produs sub forma
$a^{3}*b^{4}*c^{2}=(2k)^{3}*k^{4}*(3k)^{2}=4*k^{3}*k^{4}*9*k^{2}=36*k^{9}=72\Rightarrow k^{9}=2\Rightarrow k=2^{frac{1}{9}}$
Si de aici rezulta toate celelalte valori
$a=2k=2*2^{\frac{1}{9}}$
$b=k=2^{\frac{1}{9}}$
$c=3k=3*2^{\frac{1}{9}}$