Question

Determinati numerele reale a, b, c in progresie geometrica, pentru care a+b+c=21 si abc=216.

Answer 1

Daca este o serie geometrica, fiecare termen ai progresiei este termenul procedent INMULTIT cu o anumita ratie q. Atunci
$b=a*q$
$c=b*(q)=(a*q)*q=a*q^{2}$

Aplicand aceste formule in cele doua ecuatii
$abc=a*(a*q)*(a*q^{2})=a^{3}*q^{3}=(aq)^{3}=216=6^{3}\Rightarrow aq=6\Rightarrow a=\frac{6}{q}$

Acum inlocuim si in cealalta ecuatie
$a+b+c=a+q*a+q*a^{2}=a(1+q+q^{2})=\frac{6}{1}*(1+q+q^{2})=21\Rightarrow 2(1+q+q^{2})=7*q\Rightarrow 2q^{2}-5*q+2=0\Rightarrow 2q^{2}-4q-q+2=0\Rightarrow 2q(q-2)-(q-2)=0\Rightarrow (q-2)(2q-1)=0$ de unde rezulta ca valorile posibile pentru q sunt: q=2 sau $q=\frac{1}{2}$
Si atunci putem calcula pe a b si c
Pentru q=2
$a=\frac{6}{a}=\frac{6}{2}=3$
$b=q*a=2*3=6$
$c=q*b=6*2=12$
Pentru q=1/2
$a=\frac{6}{a}=\frac{6}{\frac{1}{2}}=12$
$b=q*a=\frac{1}{2}*12=6$
$c=q*b=\frac{1}{2}*6=3$