Question

Determinaţi numerele reale nenule a și b astfel încât funcţia f : R→R f (x) = ax^2+bx+1 să admită vârful V(1, 2), punct de maxim.

Answer 1

$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x) = ax^2+bx+1 \\ \\ V(1,2)-\text{punct de maxim.} \\ \\ \Rightarrow \begin{cases}f'(1) = 0 \\ f(1) = 2\\a<0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}2a+b = 0 \\ a+b+1 = 2\\a<0\end{cases}\Bigg| \Rightarrow a-1 = -2 \Rightarrow \\ \\ \\\Rightarrow \begin{cases}a = -1 \\ b = 2\\a<0\end{cases}\Bigg| \Rightarrow (a,b) = \Big\{(-1,2)\Big\}$

Answer 2

$Pentru \ ca \ functia \ sa \ aibe \ punct \ de \ maxim, \ trebuie \ ca \ a \ sa \ fie \ mai \ mic \ decat \ 0\\ \\coordonatele \ varfului \ sunt \ V(\frac{-b}{2a}; \ \frac{-\Delta}{4a})\\ \\Avem:\\ \\ \frac{-b}{2a}=1 \Rightarrow -b=2a\\ \\\Delta=b^2-4ac \Rightarrow\frac{-\Delta}{4a}=\frac{-b^2+4ac}{4a}=2\\ \\ \Rightarrow -b^2+4ac=8a \Rightarrow -b^2+4a=8a\\ \\ -(-2a)^2 +4a=8a \Rightarrow -4a^2+4a-8a=0\\ \\ \Rightarrow -4a^2-4a=0 \Rightarrow -4a(a+1)=0\\ \\ \Rightarrow a=0 \ sau \ a+1=0\\ \\ Prima \ varianta \ cade, \ deoarece \ a<0. \\ \\ Verificam: \ a+1=0 \Rightarrow a=-1<0\\ \\ b=-2a=-2\cdot (-1)=2\\ \\ \boxed{f(x)=-x^2+2x+1}$