Question

Determinati numerele reale (x, y, u, v) care verifca:
u+v=2
ux+vy=1
ux^2 + vy^2=-1
ux^3 + vy^3=-5

Answer 1

Răspuns

Explicație pas cu pas:

Inmultind a doua ecuatie cu x+y ne da :

ux²+vy²+uxy+vxy=x+y

Inmultind prima ecuatie cu xy obtinem :

uxy+vxy=2xy

Scadem cele doua relatii si obtinem:

ux²+vy²=x+y-2xy

Adica :  -1=x+y-2xy .

Procedam analog si pentru ecuatiile (2) si (3) :

Inmultim a treia ecuatie cu x+y :

ux³+vy³+ux²y+vxy²=-x-y

Inmultim a doua ecuatie cu xy :

ux²y+vxy²=xy

Scadem relatiile :

ux³+vy³=-x-y-xy

-5=-x-y-xy

Acum ne putem folosi de cele doua relatii:

{ x+y-2xy=1

{ -x-y-xy=-5

Facand notatia x+y=a si b=xy , sistemul devine:

{a-2b=1

{-a-b=-5 , cu solutia (a,b)∈{(3,2)}

Refacem substitutia:

{ x+y=3

{ xy=2  ,  de unde (x,y)∈{(1,2) ; (2,1)}

De aici e foarte simplu sa ii aflam pe u si v . De exemplu inlocuind pe x si y in primele doua relatii ale sistemului initial.

Pentru prima pereche:

{u+v=2

{u+2v=1       => (u,v)=(3,-1)

Pentru cealalta pereche solutia este (u,v)=(-1,3)

Prin urmare, solutiile sistemului sunt :

(u,v,x,y)= {(3,-1,1,2) ; (-1,3,2,1) }