Question

Determinati o valoare a numarului n,n apartine N, astfel incat x=√2•(√2)²•(√2)³•...•(√2)n sa fie numar rational. Exista mai multe astfel de valori ale lui n?

Answer 1

√2*(√2)² *(√2)³*....*(√2)^n= (√2) (1+2+3+...+n)=(√2)^(n(n+1)/2
n(n+1)/2∈2k pt ca sa fie o putere para pt ca radicalul sa se poata extrage, adica 2^(n(n+1))/2 sa fie patrat perfect
deci n(n+1)=4k
cum n si n+1 sunt succesive, deci prime intre ele
avem
 fie n=4k, k∈N*
fie n+1=4k, decin=4k-1

cate unexemplu pt fiecare categorie
 pt k=1 , avem n=4 si n=3

n=4
√2*√2² * √2³ *√2^4=(√2)^10=2^5=16∈N⊂Q

n=3
√2*√2²*√2³=(√2)^6=2³=8∈N⊂Q