Question

Determinaţi pentru ce valori ale parametrului real a ecuaţia 4^x -(a+17)*2^x+17a=0 admite o unică soluţie.

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

4^x-(a+17)×2^x+17a=0

notam 2^x =v

v²-(a+117)v+17a=9

Δ=0      (a+17)²-4×17a=0

a²+34a+289-68a=0      a²-34a+289=0      a-17=0

a=17                 v²-34v+289=0

³v1,2=17±√289-289                v=17    2^x=17    x=log2 din 17

Answer 2

Răspuns:

a∈(-∞,0]∪{17}

Explicație pas cu pas:

1) Pentru a=0, obținem 4ˣ-17·2ˣ=0, => 2ˣ(2ˣ-17)=0, are o unica solutie, deoarece 2ˣ >0 pentru orice x real, iar 2ˣ=17 are unică soluție.

2) dacă notăm 2ˣ =t , atunci după Viete avem

Ca ecuația inițială să aibă soluție unică e necesar ca produsul soluțiilor să fie negativ, deci 17a<0, de unde a<0 . Atunci t1·t2<0, deci o solutie este pozitivă, iar alta negativă și atunci 2ˣ=t va avea unică soluție.

Pentru a>0 ecuatia inițială poate avea unică soluție numai pentru Δ=0, deci pentru a=17.

Răspuns: ecuaţia 4^x -(a+17)*2^x+17a=0 admite o unică soluţie pentru

a∈(-∞,0]∪{17}