Question

Determinati perechile de nr naturale (x,y) care sa verifice egalitatea: 5*x la puterea a 2+4* y la puterea a 2=17 la puterea 1997

Answer 1

Vom arata ca nu exista solutii pentru egalitatea data.

5$x^{2}$+4$y^{2}$=$17^{1997}$

Calculam ultima cifra a lui $17^{1997}$

Ulima cifra a puterilor lui 7 se repeta din 4 in 4:

U($7^{1}$) = 7
U($7^{2}$) = 9
U($7^{3}$) = 3
U($7^{4}$) = 1

U($7^{5}$) = 7
U($7^{6}$) = 9
..................
Observam ca 1997=4*499+1 deci ultima cifra a lui $17^{1997}$ este 7, deci in membrul drept avem un nr impar.

In membrul stang observam ca 4$y^{2}$ este mereu par, indiferent de paritatea lui y.
Daca x ar fi par, atunci si 5$x^{2}$ ar fi par, deci ar trebui ca:
par+par=impar, ceea ce este fals, deci x trebuie sa fie impar, deci 5$x^{2}$ are ultima cifra 5.

Ultima cifra a unui patrat perfect poate fi {0, 1, 4, 5, 6, 9}, deci 4$y^{2}$ poate avea ultima cifra {0, 4, 6}. Observam ca 5 adunat cu oricare dintre cifrele 0, 4 sau 6 dau ultima cifra diferita de 7, deci egalitatea din enunt nu poate avea loc pt nici un nr nat.