Question

Determinati perechile de numere naturale (a, b), stiind ca cel mai mare divizor comun al numerelor a si b este 11, iar 2a+5b=176.

Answer 1

daca divizorul este 11 atunci             a= 11·k
                                                       b= 11·w
2·11·k +5· 11 ·w = 176  impartim cu 11
2·k +5·w = 16
5·w = 16 - 2 ·k
5·w = 2( 8- k)              cu 5 si 2 numere prime 
avem  w =2         si 5= 8 -k              k=3 
a = 11 · 3 = 33
b=  11·2 =22

Answer 2

(a,b)=11=> a=11p si b=11q (unde p si q sunt numere naturale nenule prime intre ele ((p,q)=1)).

2a+5b=176 <=> 2*11p+5*11q=176<=> 11(2p+5q)=176 => 2p+5q=16.

Numerele 2p+5q sunt mai mari decat 0, deci 2p<16 si 5q<16.
5q<16 si q∈N, implica q∈{1,2,3}. Mai mult: 2p si 16 sunt numere naturale pare, deci 5q este divizibil cu 2 => q divizibil cu 2 => q=2.

2p+5q=16 <=> 2p+10=16=>2p=6=>p=3.

Am gasit ca p=3 si q=2.
Deci a=11p=11*3=33 si q=2*11=22.

Solutie: (a;b)=(33;22). (adica a=33 si b=22)