Question

Determinati perimetrul unui triunghi ABC,daca se cunosc AB=8 cm, masura unghiului A =60 de grade și aria triunghiului ABC =20 radical din 3

Answer 1

                                     C 

mas <A = 60       A           D                         B 
CD = inaltimea         aria = AB · CD / 2   = 8cm ·CD / 2  = 4·CD 
aria = 20√3 = 4 ·CD      ⇒    inaltimea CD = 20√3 : 4 = 5√3 
Δ CDA drept   cu  mas<C = 30         atunci AC = 2·AD 
       AC² = AD² + CD²                ⇒  ( 2AD)² = AD² + (5√3)²
4AD²- AD² = 25·3           ;            3AD² = 25·3             ; AD² =25    ; AD =√25 = 5 
ATUNCI        AC = 2·AD = 2·5 = 10
 daca  AD = 5         atunci DB = 8 - 5 = 3 cm 
Δ CDB drept       BC² = CD² + DB² = (5√3)²  + 3² = 75 +9=84 
 BC = √84 = √4√21 = 2√21 
perim = 10cm + 8cm + 2√21cm = 18 cm + 2√21 cm 

Answer 2

[tex]AB=\boxed{c=8}\ ,BC=a,\ AC=b\\ A_{[ABC]}=\frac{bc\sin A}{2}\Leftrightarrow\ 20\sqrt3=\frac{b\cdot 8\sin60\textdegree}{2}\\ \Leftrightarrow 40\sqrt3=b\cdot 8 \frac{\sqrt3}{2}\Leftrightarrow\boxed{ b=10}\\ a^2=b^2+c^2-2bc\cdot\cos60\textdegree\\ a^2=100+64-2\cdot8\cdot10\cdot\frac{1}{2}\\ a^2=164-80=84\\ a=\sqrt{84}=2\sqrt{21}\\ \boxed{a=2\sqrt{21}}\\ P=a+b+c=2\sqrt{21}+10+8=18+2\sqrt{21} [/tex]