Question

Determinati punctele de extrem ale functiei f:

f:(0,∞)->R,f(x)=$\frac{ln^2x}{x}$ .

Answer 1

Calculezi  prima  derivata  si  o  anulezi
f `(x)= [x `*ln²x-x*(ln²x) `]/x²=
[ln²x-2xlnx/x]/x²=
(ln²-2lnx)/x²
Rezolvi  ecuatia  f(x)=0
ln²x-2lnx=0=> lnx*(lnx-2)=0
lnx=0=> x1=1
lnx-2=0  lnx=2=>  x2=e²
Pt  ca  x1  si  x2  sa  fie  punct  de  extrem  derivata  trebuie  sa-si  scimbe  semnul  de-o  parte  si  de  alta  a  radacinilor.Numitorul  e  strict  pozitiv, semnul  e  dat  de  numitor
Tabel  de  semne
x      l 0...............1.........................e²...................+∞
_________________________________________________
lnx    l-  -  -    -  -  0+     +    +     +    +    +    +       +
_________________________________________________
lnx-2 l-    -    -    -    -    -   -    -   -   0+    +    +    +    +
lnx*(lnx-2)l+     +   0-    -   -  -  -  -    0 +   +  + +   +
Numaratorul   isi   scimba   semnul    de-o   parte   si   de   alta   a   radacinilor  deci  si   functia
x=1   si x=e² puncte   de    extrem de   minim   respectiv  de   maxim      

Answer 2

f90x) ;(0,∞)
f'(x) =[2lnx * (1/x)*x-ln²x *1]/x²= (2lnx-ln²x)/x²= lnx( 2-lnx)/x²
derivata se anuleaza pt lnx=0; x=1; f(1)=0


si pt lnx=2  x=e²
f(x)=4/e²

f(1)=0, mimim local
f(e²)=4/e², maxim local