Question

Determinați restul împărțirii numărului
$a = 1 + 7 + {7}^{2} + ... + {7}^{2018} \: la \: 400$

Arătați că numărul
$a = 3 + {3}^{2} + {3}^{3} + ... + {3}^{2018} \: nu \: este \: patrat \: perfect \: .$

Determinați numerele de forma abc (cu linie pe deasupra) care sunt pătrate perfecte și b=a+c . ​

Answer 1

Răspuns:

Pentru primul subpunct: observam ca adunând 1+7+7 la puterea a-2-a+7 la puterea a3-a obținem 400. . a are 2019 termeni. 2019:4( pentru ca folosim 4 termeni pt a obține 400) =504 rest3. Prin urmare ne vor rămâne 3 termeni. Reținem primii 3 termeni ,iar la ceilalți dam factor comun. . La subpunctul 2 ne folosim de ultima cifra. Ultima cifra a puterilor lui 3 se repeta din 4 in 4. 2018:4=504 rest2. Vom avea de adunat 3+9+7+1 de 504 ori și ,pt ca este rest 2 , se mai aduna 3+9. Observam ca 3+9+7+1=10. Deci ultima cifra a înmulțirii cu 504 este 0, rămâne de văzut care este ultima cifra adunând 3+9. => U(a)- ultima cifra a lui a=2.=> a nu poate fi pătrat perfect. Pr subpunctul 3. După înlocuirea lui b obținem 11(10a+c). Pt a fi pătrat perfect 10a+c trebuie sa fie egal cu 11 sau cu 11ori un pătrat perfect. Deoarece ABC are 3 cifre 10a+c poate fi egal cu 11 sau cu 11x4. ( vei spune de ce nu îl egalam pe 10a+c și cu 11x9?!!!—pt ca vom obține un nr se 4 cifre - 11x11x9=1089). Vezi atasament