Question

Determinati semnul derivatei pentru functia f(x) = e^x(4x^2-3x+4)
Determinati semnul derivatei a doua pentru functia f(x) = x^2 + 4x - 6 / x-5
Urgent pls

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

a) f(x) = eˣ(4x²-3x+4)

f '(x)=[eˣ(4x²-3x+4)]'=(eˣ)'·(4x²-3x+4)+eˣ(4x²-3x+4)'=eˣ(4x²-3x+4)+eˣ(8x-3)=eˣ(4x²-3x+4+8x-3))=eˣ(4x²+5x+1).

Deoarece eˣ>0, pentru ∀x∈R, ⇒ semnul derivatei depinde numai de semnul trinomului patrat 4x²+5x+1.  a=4>0, Δ=5²-4·4·1=25-16=9>0

x1=(-5-3)/(2·4)=-8/8=-1;  x2=(-5+3)/8=-1/4.

Deci pentru x∈(-∞-1)∪(-1/4, +∞), f '(x)>0, iar pentru x∈(-1, -1/4), f '(x)<0.

$b)~~f(x)=\dfrac{x^{2}+4x-6}{x-5},~~D(f) ~este~x\neq 5.\\f'(x)=(\dfrac{x^{2}+4x-6}{x-5})'=\dfrac{(x^{2}+4x-6)'*(x-5)-(x^{2}+4x-6)*(x-5)'}{(x-5)^{2}}=\dfrac{(2x+4)(x-5)-(x^{2}+4x-6)}{(x-5)^{2}}=\dfrac{2x^{2}-6x-20-x^{2}-4x+6}{(x-5)^{2}}=\dfrac{x^{2}-10x-14}{(x-5)^{2}}$

Calculam derivata a doua, derivând prima derivată...

$f''(x)=(\dfrac{x^{2}-10x-14}{(x-5)^{2}})'=\dfrac{(x^{2}-10x-14)'(x-5)^{2}-(x^{2}-10x-14)((x-5)^{2})'}{((x-5)^{2})^{2}}=\dfrac{(2x-10)(x-5)^{2}-(x^{2}-10x-14)*2(x-5)*(x-5)'}{(x-5)^{4}}=$

$=\dfrac{2(x-5)[(x-5)(x-5)-(x^{2}-10x-14)]}{(x-5)^{4}}= \dfrac{2(x^{2}-10x+25-x^{2}+10x+14}{(x-5)^{3}}=\dfrac{78}{(x-5)^{3}}$Atunci pentru x<5, f ''(x)<0, iar pentru x>5, f ''(x)>0.