Question

Determinati toate nr de forma   abc ,  scris in baza 10, astfel incat abc impartit la bc da catul 5 si restul 4

Answer 1

$\frac{}{abc} : \frac{}{bc} =5 rest 4$
100a+10b+c-4=50b+5c
100a-40b-4c=4
fiindca 100*a si 40*b au cifra unitatilor 0 , atunci
c∈{4, 9} ca cifra unitatilor sa fie 6 deoarece
un nr cu cifra unitatilor 0- un nr cu cifra unitatilor 6=4

>>daca c=4
100a-40b=4+16=20
=> a=1 atunci  40b=100-20=80 => b=2=>nr nostru este 124
=> a=2 atunci 40b=200-20=180, b ∉N
=> a=3 atunci  40b=300-20=280 => b=7=>nr nostru este 374
=> a=4 atunci 40b=400-20=380, b ∉N
=> a=5 atunci  40b=500-20=480 => b=12=>nu este in baza 10, valabil si pentru a>5;

daca c=9
100a-40b=40
=> a=1 atunci  40b=100-40=60 => b ∉N
=> a=2 atunci 40b=200-40=160, => b=4=>nr nostru este 249
=> a=3 atunci  40b=300-40=260, b ∉N
=> a=4 atunci 40b=400-40=360, => b=9=>nr nostru este 499 (considerand ca in enuntul problemei nu abvem conditia a≠b≠c)
=> a=5 atunci  40b=500-40=460  b ∉N
=>a=6 atunci  40b=600-40=560 => b=14=>nu este in baza 10, valabil si pentru a>6;

Deci,
$\frac{}{abc}$ ∈{124,374,249,499}