Question

"Determinati toate numerele naturale ab (barat),care au proprietatea ca9/a la puterea a 2-a + b la puterea a 2-a apartin numerelor naturale"

(RESCRIU) 9/a^2+b^2 apartin N

Answer 1

Daca si a si b sunt naturale, si 9/(a^2+b^2) este natural, inseamna ca a^2+b^2 formeaza un divizor al lui 9, anume 1, 3,  sau 9.
Posibilitatile sunt:
Pentru a forma pe 1: (1,0)
Pentru a forma pe 3: nu avem
Pentru a forma pe 9: (3,0)

Numerele cerute sunt 10 si 30.

Answer 2

$a \in \{1,2,3,...,9\} \\ b \in \{0,1,2,...,9\} \\ \\ \frac{9}{a^2+b^2} \in N \Rightarrow a^2+b^2 ~|~ 9 \Rightarrow (a^2+b^2) \in D_9=\{ 1;3;9 \}. \\ \\ I.~a^2+b^2=1 \\ a^2 \geq 1,~iar~b^2 \geq 0 \Rightarrow a^2+b^2 \geq 1 ,~dar~a^2+b^2=1 \Rightarrow a=1~si~b=0. \\ \\ II.~a^2+b^2=3 \Rightarrow a^2 \leq 3 \Rightarrow a=1 \Rightarrow b^2=2,~nu~convine. \\ \\ III.~a^2+b^2 \Rightarrow a^2 \leq 9 \Rightarrow a \in \{1,2,3\}. \\ \\ a=1 \Rightarrow b^2=8,~nu~convine.$

$a=2 \Rightarrow b^2=5,~nu~convine. \\ \\ a=3 \Rightarrow b^2 =0 \Rightarrow b=0. \\ \\ Numere~cautate~sunt~10~si~30.$