Question

Determinați toate numerele naturale de forma ab știind că suma cifrelor numărului ab este egală cu suma cifrelor numărului 5 ori ab​

Answer 1

 

$\displaystyle\\\text{Folosim urmatoarea proprietate a numerelor:} \\\text{Daca n este divizibil cu k, atunci orice numar inmultim cu n, }\\\text{produsul ramane divizibil cu k.}\\\text{De exemplu }  5 \times n \text{ este divizibil cu k.}\\\text{Vom alege un "k"  cu care sa fie divizibil numarul }\overline{ab}.\\\text{Trebuie sa-l alegem pe "k" astfel pentru care sa avem o regula de divizibilitate.}\\\text{Noi avem reguli de divizibilitate cu 2; 3; 5; 9; 10 ...}$

.

$\displaystyle\\\text{Vom folosi regula divizibilitatii la care se foloseste suma cifrelor.}\\\text{Am ramas cu 3 si 9}\\\text{3 este prea mic, astfel incat daca inmultim un numar cu 5 difera suma cifrelor.}\\\text{De exemplu:}\\12~\vdots~3\\ 5\times12=60~\vdots~3\\1+2 \neq 6+0\\\implies~\text{Nu-l putem folosi pe 3.}\\\text{A ramas doar 9.}\\\text{Luam toate numerele de 2 cifre divizibile cu 9.}$

.

$\displaystyle\bf\\18~~~~~5\times18=90~~~~1+8=9+0=9~~Corect\\27~~~~~5\times27=135~~~~2+7=1+3+5=9~~Corect\\36~~~~~5\times36=180~~~~3+6=1+8+0=9~~Corect\\45~~~~~5\times45=225~~~~4+5=2+2+5=9~~Corect\\54~~~~~5\times54=270~~~~5+4=2+7+0=9~~Corect\\63~~~~~5\times63=315~~~~6+3=3+1+5=9~~Corect\\72~~~~~5\times72=360~~~~7+2=3+6+0=9~~Corect\\81~~~~~5\times81=405~~~~8+1=4+0+5=9~~Corect\\90~~~~~5\times90=450~~~~9+0=4+5+0=9~~Corect\\99~~~~~5\times99=495~~~~9+9=4+9+5=18~~Corect$

.

$\displaystyle\bf\\\implies~\boxed{\bf\overline{ab}\in\{18;~27;~36;~45;~54;~63;~72;~81;~90;~99\}}$