Question

Determinaţi toate numerele naturale nenule n pentru care numărul 1*2*3*...*n divide numărul (2^0+1)*(2^1+1)*(2^2+1)*...* 2^n-1+1).​

Answer 1

Răspuns:

n=1, 2 sau 3

Explicație pas cu pas:

Daca enuntul este scris corect (dupa ce adaugam paranteza la (n-1), desigur) avem ca $\frac{2*3*5*...*(2^{n-1}+1) }{1*2*3*...*n}$ trebuie sa fie numar natural. Evident pentru n=1, n=2 si n=3 se intampla acest lucru fiindca se obtine, pe rand, 2, 3 sau 5. Daca n este mai mare (strict) decat 3, atunci la numarator avem factorii 2, 3, 5 si altii care sunt impari, iar la numitor avem factorii 1, 2, 3 si altii pana la n. Dupa ce simplificam cu 2, la numarator avem un numar impar, iar la numitor unul par (contine macar pe 4). Prin urmare, nu se poate obtine un numar natural.

Clarificari suplimentare:

Pentru n=4 obtinem $\frac{35}{4}$ , pentru n=5 obtinem $\frac{63}{4}$